內容簡介
暢銷書《一個數學家的嘆息》作者的最新力作！
還原數學的本質，就是一種好奇、探索、發現的過程。
近幾年來，保羅・拉克哈特的《一個數學家的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳，直到成書出版後，更引爆了廣泛的好評，因為它批判了今日僵化的數學教育（背公 式、大量的習題），忽略了帶領學生思考問題的過程；而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，產生好 奇心，不是嗎？
在這本新書中，作者寫出了數學教育正向積極的一面，帶領我們體會，數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。
作者現身說法提出了他心目中的數學，應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同，然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、向量、到微積分，不斷地引導我們問「為什麼？」。
他和你說話，用平易近人的語氣，運用手繪的圖形，就像是自己在玩數學似的，呈現他心目中理想、有意義的數學問題，以及思考過程。他不會假裝數學很簡 單，但也大方展現數學的美。在他筆下，複雜的數學概念變得符合直覺、容易掌握，數學概念不再是東一塊、西一塊，各個單元彼此可以連結，形成有意義的動人故 事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思，正呼應了他所堅信的：數學不僅是科學，也是藝術。
在這個新天地裡，漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過，做出一些令人驚訝的事！當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐，會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」，當我們一頭栽進去，盡情思考之後，將獲得極大的喜悅，並得到情感和美感上的回報。
名人推薦
任維勇 北一女中數學教師
洪萬生 師大數學系退休教授
游森棚 師大數學系教授
無論你受過什麼樣的數學教育，或是沒有上過數學課，你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請，浸淫在書裡散發出的數學感受中，並親自動 手嘗試看看──不只是解題，更積極的，一面探索數學世界一面構思問題。──貝利‧馬祖爾（Barry Mazur )，哈佛大學校聘數學教授
這本書是一首情歌，一篇哲學宣言，以及關於做數學的甘苦，但甘甜占了大多數。──史蒂芬•史特格茲（Steven Strogatz），康乃爾大學講座教授
充滿趣味和巧思的寫法，不僅讓數學不再令人感到害怕，也優雅地描繪出作者樂在其中的世界。──《出版人週刊》（Publishers Weekly）
目錄
推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
自序／導讀
〔推薦序〕
從「測量」看數學與數學之美
游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪 癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以 盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成 絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界 中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越 數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積 分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步， 一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比 如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓
內容試閱
何謂數學問題？對數學家而言，問題就是一種試探──去檢驗數學實在，看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」，看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角，可能是幾何形狀的排列方式，或是數字模式之類的，想要進一步了解它背後的運作，於是我們戳它一下──只不過沒用手或是棍子，而是運用心智。
舉例來說，假設你在畫三角形，在這些三角形上進行各種實驗，譬如切割成小三角形，結果偶然發現了一件事：
你把各邊中點和它的對角連起來時，三條連線（中線）似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形，發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團！但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼，是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率，三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎，再放在顯微鏡下看，但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚，卻不會因此而更了解三角形。
真正的謎團，是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形，而我們想問的問題是：在數學實在中，這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。（在整本書我會一直強調這種區別，可能會到讓你嫌囉唆的地步。）我們該如何解決這樣的問題？對於這樣的假想物件，有任何已知的知識嗎？是哪種形式的知識？
在繼續檢視這些提問之前，我們先花點時間，欣賞一下這道問題，領略何謂「數學實在」的本質。
我們撞見了一個密謀，顯然暗中有某種（未知的）結構上的運作，使這種情況發生。我認為這很了不起，但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事，是我們所不知道的？想到有這麼多漂亮而深奧的真理，等著我們去發現並融會貫通，有時還真讓我有點忐忑不安。
這個謎團究竟是什麼？我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做？假如你是隨便把三根棍子丟到地上，棍子通常不會交疊在某一點，而是兩兩交叉，中間形成一個小三角形，不是嗎？
我們所尋找的是一種解釋。當然，倘若這現象根本不真確，我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願，或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」，所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了，被鉛筆屑擋住，我們看不到罷了。但另一方面，它當然也有可能為真；它具備了數學家會去尋找的很多元素：自然性、優雅、簡單，以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的，但問題同樣是：為什麼？
現在，學問來了。為了做出解釋，我們得創造某樣東西──要以某種方式建構一套論證或推理，可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是，若只是畫或做出一堆實體三角形，然後看它對不對，這樣是不夠的。這並不是在解釋，反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問，是個更為嚴肅的哲學問題。
如果不知道為什麼三中線交於一點，又怎麼知道它們真的相交呢？「數學實在」不像實體世界，沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域？重點是，什麼是真確的，其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。
我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材，來輔助直覺和想像。我們只需明白，這些東西並不是討論的主體，並不能告訴我們數學實在的真相。
所以，現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理，現在需要證明它。這就是數學家...