內容簡介
日本數學會出版獎得主結城浩最新科普力作！
「我完全不懂證明！」
為什麼一定要「證明」呢？
「我」與兩位少女，逼近證明原點的數學對談
完全不懂為什麼要寫下證明。
顯而易見的事，
為什麼還要一一寫出來呢？
還是不懂為什麼要寫下證明。
一眼就看穿的事，
為什麼非得化為言語才行呢？
真的不懂為什麼要寫下證明。
大家都知道的事，
為什麼還要一一說明呢？
我真的懂嗎？要是真的懂就好了呢。
我證明的原因。
向你證明的原因。
本書的主題就是讓許多在學習數學的國中生容易感到厭煩的「圖形的證明」
即便是擅長計算與圖形的小學生，在國中學到「證明」時，很多時候都會感到很迷惑。
明明都是已經知道的東西、看到圖也能立刻理解，為什麼還非要特地「證明」不可呢？
學生們都會對此帶有疑惑並容易感到混亂。
此外，不僅是透過閱讀理解寫下來的證明，一旦到了要自己寫出證明的階段時，就有國中生更感頭痛了吧。
有哪些是一定要寫的？不知道為什麼要那樣寫？
結果不是自己理解了證明，而是忍耐著背下問題的模式，最終變得討厭起數學，還有可能變得對數學不擅長了。
本書以「三角形的全等」為主，講述對初學者來說很重要的內容。
以對話形式講解三角形全等的條件、等腰三角形、正三角形、直角三角形、平行線的內錯角與同位角等相關的問題，並一步步推進思考。
本書中，高中生的「我」與兩名國中女生反覆地進行對話，解開了學習數學的方法。
為了什麼要做證明呢？
為什麼確認定義很重要？
該怎麼書寫比較好呢？理由為何？
書中將會迫近這些本質性的話題。
同時，在碰上未知的問題時該如何找出線索呢？
透過與自己本身的對話，體驗到推進思考的重要性。
本書除了很推薦給不擅長於證明圖形的國中生、認為自己不擅長數學而感到苦惱的高中生，也推薦給站在教學立場的各教師、家長們，這將是會帶給大家許多新發現的一本書。
前師範大學數學系教授兼主任 洪萬生 審訂
「我完全不懂證明！」
為什麼一定要「證明」呢？
「我」與兩位少女，逼近證明原點的數學對談
完全不懂為什麼要寫下證明。
顯而易見的事，
為什麼還要一一寫出來呢？
還是不懂為什麼要寫下證明。
一眼就看穿的事，
為什麼非得化為言語才行呢？
真的不懂為什麼要寫下證明。
大家都知道的事，
為什麼還要一一說明呢？
我真的懂嗎？要是真的懂就好了呢。
我證明的原因。
向你證明的原因。
本書的主題就是讓許多在學習數學的國中生容易感到厭煩的「圖形的證明」
即便是擅長計算與圖形的小學生，在國中學到「證明」時，很多時候都會感到很迷惑。
明明都是已經知道的東西、看到圖也能立刻理解，為什麼還非要特地「證明」不可呢？
學生們都會對此帶有疑惑並容易感到混亂。
此外，不僅是透過閱讀理解寫下來的證明，一旦到了要自己寫出證明的階段時，就有國中生更感頭痛了吧。
有哪些是一定要寫的？不知道為什麼要那樣寫？
結果不是自己理解了證明，而是忍耐著背下問題的模式，最終變得討厭起數學，還有可能變得對數學不擅長了。
本書以「三角形的全等」為主，講述對初學者來說很重要的內容。
以對話形式講解三角形全等的條件、等腰三角形、正三角形、直角三角形、平行線的內錯角與同位角等相關的問題，並一步步推進思考。
本書中，高中生的「我」與兩名國中女生反覆地進行對話，解開了學習數學的方法。
為了什麼要做證明呢？
為什麼確認定義很重要？
該怎麼書寫比較好呢？理由為何？
書中將會迫近這些本質性的話題。
同時，在碰上未知的問題時該如何找出線索呢？
透過與自己本身的對話，體驗到推進思考的重要性。
本書除了很推薦給不擅長於證明圖形的國中生、認為自己不擅長數學而感到苦惱的高中生，也推薦給站在教學立場的各教師、家長們，這將是會帶給大家許多新發現的一本書。
前師範大學數學系教授兼主任 洪萬生 審訂
作者簡介
作者介紹結城 浩
1963年生。
在程式設計語言、設計模式、密碼、數學等領域寫有入門書。
代表作為《數學女孩》系列。
是最喜歡巴赫《賦格的藝術》的基督新教教徒。
獲得2014年度日本數學會出版獎。譯者介紹陳朕疆
自由譯者。清大生命科學學士、政大財務管理碩士、京都大學農學部交換一年。現為專職譯者，譯有多本科普、健康、商管書籍，歡迎批評指教。
信箱：[email protected]
1963年生。
在程式設計語言、設計模式、密碼、數學等領域寫有入門書。
代表作為《數學女孩》系列。
是最喜歡巴赫《賦格的藝術》的基督新教教徒。
獲得2014年度日本數學會出版獎。譯者介紹陳朕疆
自由譯者。清大生命科學學士、政大財務管理碩士、京都大學農學部交換一年。現為專職譯者，譯有多本科普、健康、商管書籍，歡迎批評指教。
信箱：[email protected]
目錄
前言iii
序章ix
第1 章 重疊的三角形
1.1 由梨與野奈
1.2 三角形的全等
1.3 實例①
1.4 實例②
1.5 全等的定義
1.6 實例③
1.7 詢問理由
1.8 確認是否全等
1.9 也可以翻面
1.10 為頂點命名
1.11 為三角形命名
1.12 為邊命名
1.13 為角命名
1.14 兩個全等的三角形
1.15 練習題
1.16 怎樣命名比較好
●第1 章的問題
第2 章 三角形的全等條件
2.1 兩個全等的三角形
2.2 邊的對應
2.3 邊的長度
2.4 角的對應
2.5 角的大小
2.6 野奈的疑問
2.7 三角形的全等條件
2.8 三角形的全等條件①三邊相等
2.9 「野奈老師」的回答
2.10 由梨的疑問
2.11 三角形的全等條件②兩邊與夾角相等
2.12 三角形的全等條件③兩角與夾邊相等
●第2 章的問題
第3 章 讀懂證明
3.1 證明兩個角相等
3.2 假設與結論
3.3 要寫出多少證明才行呢
3.4 證明等腰三角形的兩底角相等
3.5 等腰三角形的定義
3.6 底角的定義
3.7 回到證明問題
3.8 假設與結論
3.9 尋找證明的方法
●第3 章的問題
第4 章 寫出證明
4.1 在餐桌
4.2 等腰三角形的底角相等
4.3 若底角相等便是等腰三角形
4.4 野奈老師
4.5 野奈的證明
4.6 由梨的證明
4.7 正三角形
4.8 正三角形為等腰三角形
4.9 三角形的包含關係
4.10 正三角形的三個角彼此相等
4.11 野奈的證明
4.12 由梨的證明
●第4 章的問題
第5 章 尋求原因的對話
5.1 三角形的內角
5.2 由梨的證明
5.3 一項項確認
5.4 輔助線
5.5 要記哪些事，又該如何記憶
5.6 我們的證明
5.7 三角形的外角
5.8 記憶中的問題
5.9 另解
5.10 歐幾里得的《幾何原本》
●第5 章的問題
尾聲
解答
給想多思考一點的你
後記
參考文獻與建議閱讀
索引
序章ix
第1 章 重疊的三角形
1.1 由梨與野奈
1.2 三角形的全等
1.3 實例①
1.4 實例②
1.5 全等的定義
1.6 實例③
1.7 詢問理由
1.8 確認是否全等
1.9 也可以翻面
1.10 為頂點命名
1.11 為三角形命名
1.12 為邊命名
1.13 為角命名
1.14 兩個全等的三角形
1.15 練習題
1.16 怎樣命名比較好
●第1 章的問題
第2 章 三角形的全等條件
2.1 兩個全等的三角形
2.2 邊的對應
2.3 邊的長度
2.4 角的對應
2.5 角的大小
2.6 野奈的疑問
2.7 三角形的全等條件
2.8 三角形的全等條件①三邊相等
2.9 「野奈老師」的回答
2.10 由梨的疑問
2.11 三角形的全等條件②兩邊與夾角相等
2.12 三角形的全等條件③兩角與夾邊相等
●第2 章的問題
第3 章 讀懂證明
3.1 證明兩個角相等
3.2 假設與結論
3.3 要寫出多少證明才行呢
3.4 證明等腰三角形的兩底角相等
3.5 等腰三角形的定義
3.6 底角的定義
3.7 回到證明問題
3.8 假設與結論
3.9 尋找證明的方法
●第3 章的問題
第4 章 寫出證明
4.1 在餐桌
4.2 等腰三角形的底角相等
4.3 若底角相等便是等腰三角形
4.4 野奈老師
4.5 野奈的證明
4.6 由梨的證明
4.7 正三角形
4.8 正三角形為等腰三角形
4.9 三角形的包含關係
4.10 正三角形的三個角彼此相等
4.11 野奈的證明
4.12 由梨的證明
●第4 章的問題
第5 章 尋求原因的對話
5.1 三角形的內角
5.2 由梨的證明
5.3 一項項確認
5.4 輔助線
5.5 要記哪些事，又該如何記憶
5.6 我們的證明
5.7 三角形的外角
5.8 記憶中的問題
5.9 另解
5.10 歐幾里得的《幾何原本》
●第5 章的問題
尾聲
解答
給想多思考一點的你
後記
參考文獻與建議閱讀
索引
內容試閱
1.16 怎樣命名比較好
我：「剛才我們為三角形、頂點、邊取了名字。為什麼要取名呢？因為這樣才能清楚指出討論的對象。為了清楚指出討論的對象，『名字越簡潔越好』。」
由梨：「嗯—這不是理所當然嗎？」
我：「很理所當然沒錯，卻也很重要。討論數學時會提到很多項目，像是頂點、邊、角、三角形……等等。一個不小心，就會弄混到底是哪個東西和哪個東西又怎麼了。要是討論內容模糊不清，說明也會變得亂七八糟，讓人困擾對吧？」
由梨：「很困擾。」
野奈：「是的…OO」
兩位少女同時點了點頭。
我：「若是討論變得亂七八糟，就很難研究數學了，所以我們要為討論的對象取名。取名是為了清楚指出在討論哪個對象。」
野奈：「…OO」
我：「三角形ABC 或邊AB 這種名字到底好不好呢？我們可以由是否能正確指出該對象看出。」
由梨：「哦哦—」
我：「如果名字讓人覺得『哦，是指這東西啊』簡潔明瞭，就是個好名字。但如果讓人覺得『所以到底是在講哪個東西啊』，就是個爛名字。」
野奈：「不是老師…！！」
野奈突然喊出聲，於是我們看向她。
我：「咦？」
由梨：「野奈，怎麼了嗎？」
野奈：「不是老師……是原因嗎…？？」
野奈認真地看著我。
「不是老師是原因」是什麼意思呢？
野奈想說明自己的想法，但似乎還不習慣的樣子，所以聽她說話的我們常須自行想像她想表達什麼。
不過這次的難度太高，連我也無法解讀。
我：「抱歉，野奈，可以說得詳細一點嗎？」
我盡可能溫柔地詢問野奈。
野奈：「不是因為老師這麼說……而是有其他原因嗎…？？」
我：「沒錯！就是這樣，野奈！所有規則都不是『因為老師這麼說』，而是因為『有特定原因』喔。所以重要的是思考『為什麼會這樣？』的原因。用三角形ABC 這樣的稱呼，可以明確指出是哪個三角形。明確指出是哪個三角形之後，討論時就不會混亂。因為這些原因，所以才會稱呼它是三角形ABC。」
由梨：「有時候會寫成△ABC 吧，為什麼呢？」
我：「由梨覺得是為什麼呢？」
由梨：「因為比寫『三角形』還要簡單吧，寫字太麻煩了。」
我：「是啊。這樣可以清楚表示討論的對象，又可以很快寫出來。所以△符號也是很好的表示方式。」
由梨：「這樣的話，由梨也可以發明其他的表示方式嗎？」
我：「當然可以，只要是簡潔明瞭的表示方式都很棒。不過，不能是只有由梨才看得懂的寫法喔。」
由梨：「這樣啊。」
我：「畢竟語言是與他人互動時的工具，所以還有個重要的原因是『因為大部分的人都這麼寫，所以我也要跟著這麼寫』。」
野奈頻頻點頭，贊同我和由梨的對話。
她的反應很好。但數學討論還是沒有進展。
• 首先說明三角形、邊、角的名稱，
• 然後說明兩個三角形全等時，哪些性質會成立，
• 接著說明兩個三...
我：「剛才我們為三角形、頂點、邊取了名字。為什麼要取名呢？因為這樣才能清楚指出討論的對象。為了清楚指出討論的對象，『名字越簡潔越好』。」
由梨：「嗯—這不是理所當然嗎？」
我：「很理所當然沒錯，卻也很重要。討論數學時會提到很多項目，像是頂點、邊、角、三角形……等等。一個不小心，就會弄混到底是哪個東西和哪個東西又怎麼了。要是討論內容模糊不清，說明也會變得亂七八糟，讓人困擾對吧？」
由梨：「很困擾。」
野奈：「是的…OO」
兩位少女同時點了點頭。
我：「若是討論變得亂七八糟，就很難研究數學了，所以我們要為討論的對象取名。取名是為了清楚指出在討論哪個對象。」
野奈：「…OO」
我：「三角形ABC 或邊AB 這種名字到底好不好呢？我們可以由是否能正確指出該對象看出。」
由梨：「哦哦—」
我：「如果名字讓人覺得『哦，是指這東西啊』簡潔明瞭，就是個好名字。但如果讓人覺得『所以到底是在講哪個東西啊』，就是個爛名字。」
野奈：「不是老師…！！」
野奈突然喊出聲，於是我們看向她。
我：「咦？」
由梨：「野奈，怎麼了嗎？」
野奈：「不是老師……是原因嗎…？？」
野奈認真地看著我。
「不是老師是原因」是什麼意思呢？
野奈想說明自己的想法，但似乎還不習慣的樣子，所以聽她說話的我們常須自行想像她想表達什麼。
不過這次的難度太高，連我也無法解讀。
我：「抱歉，野奈，可以說得詳細一點嗎？」
我盡可能溫柔地詢問野奈。
野奈：「不是因為老師這麼說……而是有其他原因嗎…？？」
我：「沒錯！就是這樣，野奈！所有規則都不是『因為老師這麼說』，而是因為『有特定原因』喔。所以重要的是思考『為什麼會這樣？』的原因。用三角形ABC 這樣的稱呼，可以明確指出是哪個三角形。明確指出是哪個三角形之後，討論時就不會混亂。因為這些原因，所以才會稱呼它是三角形ABC。」
由梨：「有時候會寫成△ABC 吧，為什麼呢？」
我：「由梨覺得是為什麼呢？」
由梨：「因為比寫『三角形』還要簡單吧，寫字太麻煩了。」
我：「是啊。這樣可以清楚表示討論的對象，又可以很快寫出來。所以△符號也是很好的表示方式。」
由梨：「這樣的話，由梨也可以發明其他的表示方式嗎？」
我：「當然可以，只要是簡潔明瞭的表示方式都很棒。不過，不能是只有由梨才看得懂的寫法喔。」
由梨：「這樣啊。」
我：「畢竟語言是與他人互動時的工具，所以還有個重要的原因是『因為大部分的人都這麼寫，所以我也要跟著這麼寫』。」
野奈頻頻點頭，贊同我和由梨的對話。
她的反應很好。但數學討論還是沒有進展。
• 首先說明三角形、邊、角的名稱，
• 然後說明兩個三角形全等時，哪些性質會成立，
• 接著說明兩個三...