內容簡介
★投資／風險概念世紀經典★
★投資人、金融保險界、經濟學、數學及資料科學領域必讀★
宛如哈拉瑞《人類大歷史》風險版，精彩萬分！
橡樹資本創辦人霍華．馬克斯盛讚：
「伯恩斯坦是我最喜愛的投資哲學家！」
經濟學巨擘高伯瑞盛讚：「財金界史無前例佳作！」
「一本針對機率撰寫，充滿野心、可讀性又趣味盎然的入門書，
伯恩斯坦把人們從迷信與宿命論的桎梏框架中解放出來。」
——《紐約時報》
風險管理是現今一項不可或缺的技能，分辨未來可能發生什麼事，從種種可能性當中作選擇的能力，在現代社會中處處可見：無論是投資者買股票，外科醫生動手術，工程師設計橋樑，企業家創業，太空人探索宇宙，政治家競選公職……都不可避免伴隨風險，風險管理已經成為挑戰和機遇的同義詞。
伯恩斯坦用精彩的歷史掌故和人物生平來追溯風險管理的起源：一位位天才以非凡的眼界，一步步如解謎般探索，教我們如何運用未來改善現在。他們讓世人了解風險的內幕，以及如何評估、衡量個中得失，把冒險變成帶動西方社會踏入現代的催化力量。從文藝復興時代的卡達諾開始，到巴斯卡、費瑪、伯努利、高斯……，直到近代發明投資組合的馬科維茨、選擇權定價公式的布萊克、休斯……他們就像漠視眾神禁令的普羅米修斯（Prometheus），深入幽冥，尋找把未來從敵人變成契機的光明。他們的成就改變了管理風險的態度，將人類好賭的天性化為積極開創未來的能量。
伯恩斯坦行雲流水的筆法，讓風險這項複雜的概念讀來趣味橫生：從機率理論、統計抽樣原理、預期壽命、常態分配、均值回歸、賽局理論……逐一量化風險，奠定今日在數學、統計學、物理學、經濟學、管理學等眾多領域根基，將「不確定」逐步「確定」，納入管理和控制，推動現代社會發展。
從頭理解人類探索、衡量風險的歷史，這樣的觀照會讓我們了解當下的立足點，在一場場冒險中掌握勝算。凱因斯說：「如果冒險對人類沒有誘惑力……所謂投資就無非是冷冰冰的謀略。」以「風險」為中心的理念，也提供人類前所未有的機會，追求更豐碩的回報－－讓不敢冒任何風險的極端保守者、追尋高風險的投機客、不知風險的賭徒，皆能成為更理性成功的投資人。
◎本書特色
1.風險概念世紀經典，投資人、金融保險界、經濟學數學及資料科學領域必讀
「風險」是企業經營、股市投資、金融保險等一切行為得以建立的要素，也是化人類賭性為經濟成長、生活水準提高、科技發展的動力。所有財經、數據學科皆於焉建立。本書為投資人、金融保險界、經濟學數學及資料科學領域讀者不可錯過的經典之作。
2.述說人類探索風險的傳奇，指引你馴服風險之路
從文藝復興時代的卡達諾開始，到巴斯卡、費瑪、伯努利、高斯……，直到近代發明投資組合的馬科維茨、選擇權定價公式的布萊克、休斯，歷代數學家運用機率、抽樣原理、均值回歸、賽局理論等統計技術，看歷來天才們如何把風險從「受到損失的可能」變成「獲利的良機」。
3.精彩萬分，身歷其境的閱讀饗宴
小說般的筆法、史詩般的追尋，如哈拉瑞《人類大歷史》風險版般見證歷史脈動，讀者將與偉大思想家同歷一次次知性冒險。
★投資人、金融保險界、經濟學、數學及資料科學領域必讀★
宛如哈拉瑞《人類大歷史》風險版，精彩萬分！
橡樹資本創辦人霍華．馬克斯盛讚：
「伯恩斯坦是我最喜愛的投資哲學家！」
經濟學巨擘高伯瑞盛讚：「財金界史無前例佳作！」
「一本針對機率撰寫，充滿野心、可讀性又趣味盎然的入門書，
伯恩斯坦把人們從迷信與宿命論的桎梏框架中解放出來。」
——《紐約時報》
風險管理是現今一項不可或缺的技能，分辨未來可能發生什麼事，從種種可能性當中作選擇的能力，在現代社會中處處可見：無論是投資者買股票，外科醫生動手術，工程師設計橋樑，企業家創業，太空人探索宇宙，政治家競選公職……都不可避免伴隨風險，風險管理已經成為挑戰和機遇的同義詞。
伯恩斯坦用精彩的歷史掌故和人物生平來追溯風險管理的起源：一位位天才以非凡的眼界，一步步如解謎般探索，教我們如何運用未來改善現在。他們讓世人了解風險的內幕，以及如何評估、衡量個中得失，把冒險變成帶動西方社會踏入現代的催化力量。從文藝復興時代的卡達諾開始，到巴斯卡、費瑪、伯努利、高斯……，直到近代發明投資組合的馬科維茨、選擇權定價公式的布萊克、休斯……他們就像漠視眾神禁令的普羅米修斯（Prometheus），深入幽冥，尋找把未來從敵人變成契機的光明。他們的成就改變了管理風險的態度，將人類好賭的天性化為積極開創未來的能量。
伯恩斯坦行雲流水的筆法，讓風險這項複雜的概念讀來趣味橫生：從機率理論、統計抽樣原理、預期壽命、常態分配、均值回歸、賽局理論……逐一量化風險，奠定今日在數學、統計學、物理學、經濟學、管理學等眾多領域根基，將「不確定」逐步「確定」，納入管理和控制，推動現代社會發展。
從頭理解人類探索、衡量風險的歷史，這樣的觀照會讓我們了解當下的立足點，在一場場冒險中掌握勝算。凱因斯說：「如果冒險對人類沒有誘惑力……所謂投資就無非是冷冰冰的謀略。」以「風險」為中心的理念，也提供人類前所未有的機會，追求更豐碩的回報－－讓不敢冒任何風險的極端保守者、追尋高風險的投機客、不知風險的賭徒，皆能成為更理性成功的投資人。
◎本書特色
1.風險概念世紀經典，投資人、金融保險界、經濟學數學及資料科學領域必讀
「風險」是企業經營、股市投資、金融保險等一切行為得以建立的要素，也是化人類賭性為經濟成長、生活水準提高、科技發展的動力。所有財經、數據學科皆於焉建立。本書為投資人、金融保險界、經濟學數學及資料科學領域讀者不可錯過的經典之作。
2.述說人類探索風險的傳奇，指引你馴服風險之路
從文藝復興時代的卡達諾開始，到巴斯卡、費瑪、伯努利、高斯……，直到近代發明投資組合的馬科維茨、選擇權定價公式的布萊克、休斯，歷代數學家運用機率、抽樣原理、均值回歸、賽局理論等統計技術，看歷來天才們如何把風險從「受到損失的可能」變成「獲利的良機」。
3.精彩萬分，身歷其境的閱讀饗宴
小說般的筆法、史詩般的追尋，如哈拉瑞《人類大歷史》風險版般見證歷史脈動，讀者將與偉大思想家同歷一次次知性冒險。
作者簡介
譯者介紹張定綺
台大外文系研究所碩士，美國哥倫比亞大學東亞研究所、西雅圖華盛頓大學比較文學研究所研究。曾任《美國新聞與世界報導》中文版資深編輯、輔仁大學翻譯研究所筆譯組召集人、中國時報人間副刊撰述委員，譯著甚豐，現為全職母親兼譯者。
台大外文系研究所碩士，美國哥倫比亞大學東亞研究所、西雅圖華盛頓大學比較文學研究所研究。曾任《美國新聞與世界報導》中文版資深編輯、輔仁大學翻譯研究所筆譯組召集人、中國時報人間副刊撰述委員，譯著甚豐，現為全職母親兼譯者。
目錄
專業好評
推薦序 認識過去才能準備未來 財報狗
推薦序 面對風險的正確態度 綠角
導言──普羅米修斯的追尋之旅
第1部 1200年──跟老天開玩笑
第1章 風的崇拜──希臘人敬天畏神
第2章 就是這麼容易的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
第2部 1200年至1700年──輸贏一念間
第3章 賭徒卡達諾
第4章 法國大師的時代
第5章 鈕釦商人葛朗特
第3部 1700年至1900年──賭徒的理性抉擇
第6章 賭性難移
第7章 追尋確定性──精算學始祖普萊斯
第8章 至高無上的非理性－股市隨機漫步現象
第9章 腦袋不靈光的高爾頓
第10章 股市是否反應過度？
第11章 創造幸福人生
第4部 1900年至1960年──衝破蒙昧
第12章 度量人類的無知
第13章 你的決策可以改變世界
第14章 遊戲人間的馮‧紐曼
第15章 有價證券投資風險
第5部 信心度──探索不確定的未來
第16章 世無常數
第17章 理論警察
第18章 衍生性金融商品趕搭發財列車
第19章 等待紊亂
致謝
參考書目
推薦序 認識過去才能準備未來 財報狗
推薦序 面對風險的正確態度 綠角
導言──普羅米修斯的追尋之旅
第1部 1200年──跟老天開玩笑
第1章 風的崇拜──希臘人敬天畏神
第2章 就是這麼容易的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
第2部 1200年至1700年──輸贏一念間
第3章 賭徒卡達諾
第4章 法國大師的時代
第5章 鈕釦商人葛朗特
第3部 1700年至1900年──賭徒的理性抉擇
第6章 賭性難移
第7章 追尋確定性──精算學始祖普萊斯
第8章 至高無上的非理性－股市隨機漫步現象
第9章 腦袋不靈光的高爾頓
第10章 股市是否反應過度？
第11章 創造幸福人生
第4部 1900年至1960年──衝破蒙昧
第12章 度量人類的無知
第13章 你的決策可以改變世界
第14章 遊戲人間的馮‧紐曼
第15章 有價證券投資風險
第5部 信心度──探索不確定的未來
第16章 世無常數
第17章 理論警察
第18章 衍生性金融商品趕搭發財列車
第19章 等待紊亂
致謝
參考書目
自序／導讀
【推薦序】認識過去才能準備未來
財報狗（台灣最大的基本面資訊平台與社群）
我太喜歡這本書了，在閱讀的過程中，不斷地將喜歡的段落拍照發限時動態，一位朋友看到後說：「這本書的口吻很像哈拉瑞的《人類大歷史》。」啊，沒錯，很像。正是這種歷史學家的筆法，《風險之書》探討人類在各種不同時期對於風險的觀點，彷彿我們就在旁見證著人類歷史的發展，從人類的混沌時期，一路發展到今日，有一種掌握世間規律的感覺。我們為什麼讀歷史？透過宏觀的角度，快速體驗一遍思想的演進，這不只讓我們更了解當代思想的觀念，也讓我們更珍惜它。透過閱讀這本書，你可以在三個地方得到收穫。第一個就是本書的主軸：風險的歷史。
透過這本書，你可以看到人類試圖掌控命運的過程。正如作者所說，「想要達到與眾不同的成就，必須能掌握風險概念。是什麼讓人類文明大幅成長？正是因為人類開始能夠計算、選擇要承受的風險，懂得自己掌握自己的命運，我們才能在各個領域產突破性的進步。」在這本書，你可以看到人類為了回答一系列跟賭博、機率有關的問題，一代代撥開層層迷霧，努力掌握風險的精髓。有趣的是，在這過程中，你也會看到人類學習新知的過程中的心態轉變。從一無所知時，將未來全部寄託於外在，到開始有點知識，認為自己可以主宰一切，再到發現自己所知如此之少，有太多是我們不知道的事，轉而以更謙虛的心態承認不確定性的存在。
第二個收穫是對那些我們都聽過、但不熟悉的概念，多一份熟悉感，從每個人都知道的平均數、變異數，到比較專業的虛無假設、貝氏理論、均值回歸。藉由每個觀念的起源背景，了解他們想要解決的問題，我們會對這些概念多一份掌握，知道什麼時候要用，它們又有哪些限制、哪些前提要注意。
這太抽象嗎？舉例來說，賭骰子應該怎麼下注？保險要怎麼決定價格？投資組合要怎麼配置？這些事情在事前都有不確定性，你不會知道結果是好是壞。然而透過機率的運算和風險控制，你可以選擇一個最可能對你有利的作法。透過掌握風險的概念，很多事情不再只是純粹靠運氣的賭博，我們在其中探索各種機率，試圖掌握各種可能的結果，然後承擔我們願意承擔的風險。
第三個收穫，則是從風險的歷史，學習到知識如何傳承和演進。在這本書，每一階段知識的進步，幾乎都包含了三個要素：過去知識的積累、當下時代的問題，以及互相討論的夥伴。每個看來具突破性的思想，都是這群人看到過去知識的不足之處後，彼此討論後誕生出來的新產物。
知識是不斷前進的，永遠都有新的東西等待我們挖掘。但挖掘之前，你要先對過去有更充分的認識，而這本書，能幫助你做好準備。
【推薦序】面對風險的正確態度
綠角（綠角財經筆記部落格格主、財經作家）
如何處理風險？這是現代人隨時都在面對的問題。
從個人的職業生涯能否持續到意外身故的處理、從金融市場投資到出遊會不會遇到壞天氣。問題或大或小，都是風險相關問題。
現代人似乎也已經有理性的方法，處理未知的風險。天氣，有氣象局統整歷史經驗與目前狀況，為我們做預測。過早身故的風險，我們可以尋求保單的保障。金融投資，我們知道股票造成短期嚴重虧損的風險就是比債券大。
但這種現代化的風險對應方法，並不是人類天生具有的觀念。作者帶我們回到千年前的過去，描述當時，毫無風險量化概念的人們，是過著怎樣的生活。作者描繪生動，讓讀者體會到古人在...
財報狗（台灣最大的基本面資訊平台與社群）
我太喜歡這本書了，在閱讀的過程中，不斷地將喜歡的段落拍照發限時動態，一位朋友看到後說：「這本書的口吻很像哈拉瑞的《人類大歷史》。」啊，沒錯，很像。正是這種歷史學家的筆法，《風險之書》探討人類在各種不同時期對於風險的觀點，彷彿我們就在旁見證著人類歷史的發展，從人類的混沌時期，一路發展到今日，有一種掌握世間規律的感覺。我們為什麼讀歷史？透過宏觀的角度，快速體驗一遍思想的演進，這不只讓我們更了解當代思想的觀念，也讓我們更珍惜它。透過閱讀這本書，你可以在三個地方得到收穫。第一個就是本書的主軸：風險的歷史。
透過這本書，你可以看到人類試圖掌控命運的過程。正如作者所說，「想要達到與眾不同的成就，必須能掌握風險概念。是什麼讓人類文明大幅成長？正是因為人類開始能夠計算、選擇要承受的風險，懂得自己掌握自己的命運，我們才能在各個領域產突破性的進步。」在這本書，你可以看到人類為了回答一系列跟賭博、機率有關的問題，一代代撥開層層迷霧，努力掌握風險的精髓。有趣的是，在這過程中，你也會看到人類學習新知的過程中的心態轉變。從一無所知時，將未來全部寄託於外在，到開始有點知識，認為自己可以主宰一切，再到發現自己所知如此之少，有太多是我們不知道的事，轉而以更謙虛的心態承認不確定性的存在。
第二個收穫是對那些我們都聽過、但不熟悉的概念，多一份熟悉感，從每個人都知道的平均數、變異數，到比較專業的虛無假設、貝氏理論、均值回歸。藉由每個觀念的起源背景，了解他們想要解決的問題，我們會對這些概念多一份掌握，知道什麼時候要用，它們又有哪些限制、哪些前提要注意。
這太抽象嗎？舉例來說，賭骰子應該怎麼下注？保險要怎麼決定價格？投資組合要怎麼配置？這些事情在事前都有不確定性，你不會知道結果是好是壞。然而透過機率的運算和風險控制，你可以選擇一個最可能對你有利的作法。透過掌握風險的概念，很多事情不再只是純粹靠運氣的賭博，我們在其中探索各種機率，試圖掌握各種可能的結果，然後承擔我們願意承擔的風險。
第三個收穫，則是從風險的歷史，學習到知識如何傳承和演進。在這本書，每一階段知識的進步，幾乎都包含了三個要素：過去知識的積累、當下時代的問題，以及互相討論的夥伴。每個看來具突破性的思想，都是這群人看到過去知識的不足之處後，彼此討論後誕生出來的新產物。
知識是不斷前進的，永遠都有新的東西等待我們挖掘。但挖掘之前，你要先對過去有更充分的認識，而這本書，能幫助你做好準備。
【推薦序】面對風險的正確態度
綠角（綠角財經筆記部落格格主、財經作家）
如何處理風險？這是現代人隨時都在面對的問題。
從個人的職業生涯能否持續到意外身故的處理、從金融市場投資到出遊會不會遇到壞天氣。問題或大或小，都是風險相關問題。
現代人似乎也已經有理性的方法，處理未知的風險。天氣，有氣象局統整歷史經驗與目前狀況，為我們做預測。過早身故的風險，我們可以尋求保單的保障。金融投資，我們知道股票造成短期嚴重虧損的風險就是比債券大。
但這種現代化的風險對應方法，並不是人類天生具有的觀念。作者帶我們回到千年前的過去，描述當時，毫無風險量化概念的人們，是過著怎樣的生活。作者描繪生動，讓讀者體會到古人在...
各界推薦／推薦序
◎各界名家推薦
高伯瑞（前美國經濟學會主席、經濟史學家）
霍華．馬克斯（橡樹資本創辦人、《投資最重要的事》作者）
王伯達（財經自媒體《王伯達觀點》）
財報狗（台灣最大的基本面資訊平台與社群）
綠角（「綠角財經筆記」部落格格主、財經作家）
蔡明興（富邦金控董事長）
馮勃翰（台灣大學經濟系副教授）
賴以威（台師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人）
「伯恩斯坦是我最喜愛的投資哲學家。」
──霍華．馬克斯（橡樹資本創辦人、《投資最重要的事》作者）
「伯恩斯坦藉著對風險史和目前風險表現的精彩了解，帶給我們這本財金界史前無例的佳作。我很留心地說：沒人該錯過這本書。」
──高伯瑞（前美國經濟學會主席、經濟史學家）
「一本針對機率撰寫，充滿野心、可讀性又趣味盎然的入門書，伯恩斯坦把人們從迷信與宿命論的桎梏框架中解放出來。」
──《紐約時報》
「一本非常有娛樂性，又而增廣見聞的書。」
──《華爾街日報》
「《馴服風險》對風險建構了一個深具野心的論述，並確實的寫出來。」
──美國《商業周刊》
「本書應該，也一定會被廣泛閱讀。」
──《經濟學人》
「沒人能寫出如此迷人且趣味盎然的書，其重要性無與倫比。」
──海爾布洛納（Robert Heilbroner），《俗世哲學家》（The Worldly Philosophers）作者
「讀罷這本書，你會折服於作者伯恩斯坦豐富的專業學養，當代著名的經濟財金學說，經他一指點，令人茅塞頓開，讀來趣味盎然。」
——蔡明興（富邦金控董事長）
「知識是不斷前進的，永遠都有新的東西等待我們挖掘。但挖掘之前，你要先對過去有更充分的認識，而這本書，能幫助你做好準備。」
──財報狗（台灣最大的基本面資訊平台與社群）
「風險之書，讓讀者看到人類與風險對抗的歷史，也知道面對風險，仍需保有敬畏之心。」
──綠角（「綠角財經筆記」部落格格主、財經作家）
高伯瑞（前美國經濟學會主席、經濟史學家）
霍華．馬克斯（橡樹資本創辦人、《投資最重要的事》作者）
王伯達（財經自媒體《王伯達觀點》）
財報狗（台灣最大的基本面資訊平台與社群）
綠角（「綠角財經筆記」部落格格主、財經作家）
蔡明興（富邦金控董事長）
馮勃翰（台灣大學經濟系副教授）
賴以威（台師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人）
「伯恩斯坦是我最喜愛的投資哲學家。」
──霍華．馬克斯（橡樹資本創辦人、《投資最重要的事》作者）
「伯恩斯坦藉著對風險史和目前風險表現的精彩了解，帶給我們這本財金界史前無例的佳作。我很留心地說：沒人該錯過這本書。」
──高伯瑞（前美國經濟學會主席、經濟史學家）
「一本針對機率撰寫，充滿野心、可讀性又趣味盎然的入門書，伯恩斯坦把人們從迷信與宿命論的桎梏框架中解放出來。」
──《紐約時報》
「一本非常有娛樂性，又而增廣見聞的書。」
──《華爾街日報》
「《馴服風險》對風險建構了一個深具野心的論述，並確實的寫出來。」
──美國《商業周刊》
「本書應該，也一定會被廣泛閱讀。」
──《經濟學人》
「沒人能寫出如此迷人且趣味盎然的書，其重要性無與倫比。」
──海爾布洛納（Robert Heilbroner），《俗世哲學家》（The Worldly Philosophers）作者
「讀罷這本書，你會折服於作者伯恩斯坦豐富的專業學養，當代著名的經濟財金學說，經他一指點，令人茅塞頓開，讀來趣味盎然。」
——蔡明興（富邦金控董事長）
「知識是不斷前進的，永遠都有新的東西等待我們挖掘。但挖掘之前，你要先對過去有更充分的認識，而這本書，能幫助你做好準備。」
──財報狗（台灣最大的基本面資訊平台與社群）
「風險之書，讓讀者看到人類與風險對抗的歷史，也知道面對風險，仍需保有敬畏之心。」
──綠角（「綠角財經筆記」部落格格主、財經作家）
內容試閱
【摘錄1】第七章 追尋確定性──精算學始祖普萊斯
一七二五年，棣美弗出版了一本書，名叫《人壽保險》（Annuities upon Lives），書中分析了哈雷的〈布雷斯洛平均壽命表〉。雖然這本書重心放在討論數學，但也就伯努利試圖解決，而棣美弗後來也曾深入研究的難題，提出幾個重要的疑點。
研究統計學史的史蒂格勒（Stephen Stigler），在說明棣美弗的養老金研究與機率的關係時，舉了個有趣的例子。根據哈雷的表，布雷斯洛有三百四十六個五十歲的男人，其中只有一百四十二人會活到七十歲，亦即四一％的比率。這是個非常小的樣本。我們若把這種結論推廣到所有五十歲男人的預期壽命，可做到什麼程度？棣美弗當然不能據此認定，所有五十歲男人活到七十歲的機會都小於一半，但他可以回答這個問題：「如果機率的實際值是二分之一，出現像142/346這麼小或更小的比例，機率會是多少？」
損失的可能性
棣美弗第一部直接探討機率的著作，名叫《抽籤計算法》（De Mensura Sortis）。這本書首次發表於一七一一年皇家學會的出版品《哲學會報》（Philosophical Transactions）中。一七一八年，棣美弗出版英文版，將內容大量擴充，更名為《機會論》（The Doctrine of Chances），他把這本書題獻給好友牛頓。此書一出就大獲成功，在一七三八年和一七五六年分別再版。牛頓很欣賞這本書，曾告訴他的學生說：「去請教棣美弗先生吧；這方面他懂得比我多。」《抽籤計算法》可能是最早明確把風險界定為「損失的可能性」的著作：「損失任何金額的風險均與期待相反；其計算方法是將投資的金額，乘以蒙受損失的機率之積。」
一七三○年，棣美弗終於用伯努利的預測方法，求知某一樣本相對於它所從中抽離的現實世界，究竟具有多少代表性。他在一七三三年出版完整的解答，並將之增補在《機會論》的第二版與第三版裡。他一開始就承認傑可伯和尼古拉斯「數學技巧極高明⋯⋯但還需要進一步的增補」。最大的問題在於，伯努利叔姪的處理方式「顯得很累贅，也非常困難，很少人願意接著做」。
做二五、五五○次實驗，是很明顯的障礙。即使如紐曼建議的，傑可伯願意接受「不確定為必然」的結果，容許抽石子推論的結果，只有一半機會落在實際值三比二的二％誤差範圍內，也仍然需要抽籤八千四百次。照今天的標準來看，傑可伯選擇的1000/1001機率，它本身就很奇怪，大多數現代統計學家都認為，二十分之一的成功機率就足以證明一種結果有意義（即「幾乎可確定為必然」的現代說法）。
棣美弗解決這些難題的貢獻，可列入數學史上最重要的成就。他應用微積分和「巴斯卡三角形」潛在的結構，即通稱的「二項展開式」（binomial theorem）證明任一組隨機抽樣，例如傑可伯的黑白石子罐實驗，能自動在一定誤差的範圍內，分布在平均值周圍。舉個例子，假設你從傑可伯的罐子裡抽出一百顆小石頭，每次抽完都記錄黑白的比例，並把石頭都放回去。然後假設你又每次抽一百顆石頭，一連抽了若干次。棣美弗就都能事先告訴你，抽出的各次比例之中，大約有多少次會與前一梯次抽籤算出的平均值非常接近，還有各次得出的比例相對於總平均值的線形分布情形。
如今我們把棣美弗發現的分布曲線稱為「常態曲線」，也因為它形狀像個鐘而稱作「鐘形曲線」（bell curve）。將各次分布點畫成曲線就可以看出，大部分的觀察值集中於中央，接近總平均值。然後曲線對稱的向兩旁下傾，總平均值兩側有相等的觀察次數，先是急遽下降...
一七二五年，棣美弗出版了一本書，名叫《人壽保險》（Annuities upon Lives），書中分析了哈雷的〈布雷斯洛平均壽命表〉。雖然這本書重心放在討論數學，但也就伯努利試圖解決，而棣美弗後來也曾深入研究的難題，提出幾個重要的疑點。
研究統計學史的史蒂格勒（Stephen Stigler），在說明棣美弗的養老金研究與機率的關係時，舉了個有趣的例子。根據哈雷的表，布雷斯洛有三百四十六個五十歲的男人，其中只有一百四十二人會活到七十歲，亦即四一％的比率。這是個非常小的樣本。我們若把這種結論推廣到所有五十歲男人的預期壽命，可做到什麼程度？棣美弗當然不能據此認定，所有五十歲男人活到七十歲的機會都小於一半，但他可以回答這個問題：「如果機率的實際值是二分之一，出現像142/346這麼小或更小的比例，機率會是多少？」
損失的可能性
棣美弗第一部直接探討機率的著作，名叫《抽籤計算法》（De Mensura Sortis）。這本書首次發表於一七一一年皇家學會的出版品《哲學會報》（Philosophical Transactions）中。一七一八年，棣美弗出版英文版，將內容大量擴充，更名為《機會論》（The Doctrine of Chances），他把這本書題獻給好友牛頓。此書一出就大獲成功，在一七三八年和一七五六年分別再版。牛頓很欣賞這本書，曾告訴他的學生說：「去請教棣美弗先生吧；這方面他懂得比我多。」《抽籤計算法》可能是最早明確把風險界定為「損失的可能性」的著作：「損失任何金額的風險均與期待相反；其計算方法是將投資的金額，乘以蒙受損失的機率之積。」
一七三○年，棣美弗終於用伯努利的預測方法，求知某一樣本相對於它所從中抽離的現實世界，究竟具有多少代表性。他在一七三三年出版完整的解答，並將之增補在《機會論》的第二版與第三版裡。他一開始就承認傑可伯和尼古拉斯「數學技巧極高明⋯⋯但還需要進一步的增補」。最大的問題在於，伯努利叔姪的處理方式「顯得很累贅，也非常困難，很少人願意接著做」。
做二五、五五○次實驗，是很明顯的障礙。即使如紐曼建議的，傑可伯願意接受「不確定為必然」的結果，容許抽石子推論的結果，只有一半機會落在實際值三比二的二％誤差範圍內，也仍然需要抽籤八千四百次。照今天的標準來看，傑可伯選擇的1000/1001機率，它本身就很奇怪，大多數現代統計學家都認為，二十分之一的成功機率就足以證明一種結果有意義（即「幾乎可確定為必然」的現代說法）。
棣美弗解決這些難題的貢獻，可列入數學史上最重要的成就。他應用微積分和「巴斯卡三角形」潛在的結構，即通稱的「二項展開式」（binomial theorem）證明任一組隨機抽樣，例如傑可伯的黑白石子罐實驗，能自動在一定誤差的範圍內，分布在平均值周圍。舉個例子，假設你從傑可伯的罐子裡抽出一百顆小石頭，每次抽完都記錄黑白的比例，並把石頭都放回去。然後假設你又每次抽一百顆石頭，一連抽了若干次。棣美弗就都能事先告訴你，抽出的各次比例之中，大約有多少次會與前一梯次抽籤算出的平均值非常接近，還有各次得出的比例相對於總平均值的線形分布情形。
如今我們把棣美弗發現的分布曲線稱為「常態曲線」，也因為它形狀像個鐘而稱作「鐘形曲線」（bell curve）。將各次分布點畫成曲線就可以看出，大部分的觀察值集中於中央，接近總平均值。然後曲線對稱的向兩旁下傾，總平均值兩側有相等的觀察次數，先是急遽下降...