為什麼要學數學？
反思、論證、練習與解題
跟著數學家探索世界
前師大數學系主任 洪萬生 老師 審訂
ＮＨＫ、《日本經濟新聞》、《東洋經濟週刊》等日本各大媒體雜誌報導，
東京大學畢業、數學奧林匹克參賽者，
日本最強數學補習班創辦人、數學教育專家
帶你從國中數學開始，
探索基礎數學領域：幾何、代數、函數、機率與統計學。
數學領域的價值與意義是什麼？
數學家如何推演、證明數學定理？
從國中數學，建立數學素養與能力
數學史、定義與公式解說、習題演練……
從現實到抽象，將文字化為數學語言。
數學素養的培養，
目的在於解決問題的能力！
日本著名數學補習班──永野塾，主持人永野裕之，累積十數年教學經驗，有感於學生會解題、考試拿高分，卻沒有數學素養，因而決定拆解國中數學，從數學史的發展切入，提醒大家，學習數學目的在於培養解決問題的能力。在反思、論證、練習與解題的過程中，體會從現實到抽象，運用人類獨具的想像力，將文字化為簡潔的數學語言，最終建立數學素養與能力。
「圖形──幾何學」的學習重點：
Ｉ「論證」方法
II 分類的方法與運用
III採取不同的視角
「數與式──代數學」的學習重點：
I 想像力
II 合理的過程
III 簡化題目
「函數──分析學」的學習重點：
I 變數
II 因果關係
III 1對1對應（圖）
「資料的運用──機率、統計學」的學習重點：
I 比較的合理性
II 資料的整理
III 隨機
目錄
序言
第1章 圖形──幾何學
哲學始於幾何學
巴斯卡的說服術
廣為流傳《幾何原本》的定義與公理
「分類」方法與運用
不同視角──訓練水平思考能力
學會「好的形式」──證明（論證）推演方法（國二）
何謂「正確的推論」？
證明的第一步──三角形的全等性質（國二）
「外項的積＝內項的積」──三角形的相似性質（國三）
相似的問題練習
國中數學的重點──畢氏定理（國三）
蘊含許多定理的「美麗圖形」──圓（國二、國三）
圓的題目練習
練習從「相反的視角」切入──面積和長度（國二）
練習「轉換的視角」──畢氏定理的應用（國二）
第2章 數與式──代數學
西方希臘、東方印度
長年不被接受的「負數」概念
誕生於古代東方文明的「代數學」
兩位代數學之父
求解方程式的要素
算術和數學的差異
挑戰各種公式解
演繹思考的利弊
概念性的數──負數（國一）
「負數×負數＝正數」的理由
看不見卻存在的數──平方根（國二）
適用於《幾何原本》的正確解題法──一次方程式（國一）
代入法才是消去未知數的捷徑──聯立方程式（國一）
挑戰國中數學最難的數學式變形──二次方程式（國二）
簡化題目的練習──方程式的應用（國一到國三）
第3章 函數──分析學
邂逅「變數
笛卡爾的「革命」──解析幾何學的誕生
歐拉開創的「分析學」
日本的「函數」淵源
因果關係
1對1對應的用法──「計算」的語源
邂逅變數──函數
推導函數的基本──變化的比例
追查原因──函數的利用（國一到國三）
觀察變化──函數與圖形（國一至國三）
第4章 資料的運用──機率、統計學
機率論發展初期的爭論①
機率論發展初期的爭論②
機率論發展初期的爭論③
「拉普拉斯」的惡魔
統計學家最有吸引力嗎？
近代統計學之父
南丁格爾與統計學
茶會與推測統計
隨機的困難度與重要性
確認「出現機率相同」──機率（國三）
掌握資料的特徵──資料整理（國三）
由部分推測全體──抽樣調查（國三）
結語
日文參考文獻
數學史相關年表
序言
一開始我必須先說清楚，本書不是從頭學習國中數學。
本書沿循著數學歷史，以國中數學來傳達學習數學的意義與價值。
你還記得升上國中一年級時的春天嗎？背後少了雙背帶書包，內心是不是感到些許不安呢？穿著寬鬆的制服、看見校園內學長姐的姿態，是不是強烈意識到自己登上大人的階梯呢？我到現在依然記得，開始上數學課時內心萌生「我已經不是小孩子」的感覺。
雖然這麼說，但不久之前還是小學生，實際上也還是小孩子。即便從算數轉為數學，對名稱上的變化感到強烈衝擊，也沒有足夠的能力瞭解其中的差異。
我們經常聽到──特別是對數學感到棘手的人──
這樣說：「出社會後，數學就用不到啦，為什麼還要學得那麼辛苦呢？雖然加減乘除還會用到，但學習數學根本就沒有好處。」
對數學老師來說，這是非常悲哀的想法，相信拿起這本書的你肯定沒有這樣的想法，但這也是無可奈何的，對知性、感性都尚未成熟的國中生來說，想要他們瞭解學習數學的意義、價值，的確是相當困難的事情。
然而，轉眼間升上高中，心智皆將成熟的時候，數學卻變得格外困難。不要說瞭解其中的意義、價值，大多數人煞費苦心才勉強考到及格。
正因為這樣，所以我才執筆本書。
數學是人類從史前時代，綿綿傳承下來的睿智結晶。嘗試翻閱數學的歷史，我4 8 1 9 ; &# 2 1 5 0 8 ; &# 2 0 3 0 1 ; &# 2 5 1 0 4 ; &# 2 9 0 8 7 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 2 8 2 3 ; &# 2 0 1 5 4 ; &# 2 0 0 6 3 ; &# 2 6 3 7 1 ; &# 3 9 0 0 6 ; &# 2 0 2 8 4 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 4 8 6 3 ; &# 3 5 3 2 0 ; &# 1 2 2 9 0 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 2 0 1 5 4 ; &# 3 9 0 0 6 ; &# 2 9 5 5 4 ; &# 2 4 4 7 1 ; &# 2 7 7 0 4 ; &# 1 9 9 8 1 ; &# 3 5 1 1 4 ; &# 3 3 3 9 4 ; &# 2 6 2 3 4 ; &# 2 4 9 3 5 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 9 2 5 ; &# 2 0 1 0 7 ; &# 3 0 0 7 0 ; &# 2 0 0 1 3 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 0 1 0 2 ; &# 3 5 7 3 1 ; &# 3 5 7 1 2 ; &# 3 2 7 7 3 ; &# 3 3 0 2 1 ; &# 3 9 6 3 6 ; &# 2 6 3 7 1 ; &# 3 1 6 2 3 ; &# 2 0 0 1 3 ; &# 2 4 8 6 3 ; &# 2 1 2 0 5 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 5 1 0 5 ; &# 2 0 8 4 0 ; &# 2 4 5 1 5 ; &# 2 0 8 4 0 ; &# 2 4 8 4 7 ; &# 3 3 8 7 9 ; &# 3 6 8 4 8 ; &# 2 0 1 0 2 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 2 6 3 6 0 ; &# 1 2 2 9 0 ; b r / > b r / > &# 2 6 4 1 2 ; &# 2 6 3 6 0 ; &# 2 3 5 5 9 ; &# 2 2 2 8 3 ; &# 2 0 0 1 3 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 1 0 4 0 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 2 5 1 0 4 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 2 0 3 0 9 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 4 9 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 1 2 2 8 9 ; &# 2 0 1 9 5 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 5 0 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 1 2 2 8 9 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 2 6 5 1 2 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 5 1 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 1 2 2 8 9 ; &# 2 7 2 3 1 ; &# 2 9 5 7 5 ; &# 3 2 1 1 3 ; &# 3 5 3 3 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 5 2 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 2 2 2 3 5 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 1 5 0 8 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 2 1 0 6 9 ; &# 2 1 3 2 2 ; &# 3 7 0 9 6 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 3 5 3 5 2 ; &# 3 6 8 4 8 ; &# 3 0 4 5 6 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 1 4 9 0 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 4 4 6 0 ; &# 2 1 3 2 2 ; &# 3 7 0 9 6 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 3 2 1 1 3 ; &# 2 5 9 7 2 ; &# 2
反思、論證、練習與解題
跟著數學家探索世界
前師大數學系主任 洪萬生 老師 審訂
ＮＨＫ、《日本經濟新聞》、《東洋經濟週刊》等日本各大媒體雜誌報導，
東京大學畢業、數學奧林匹克參賽者，
日本最強數學補習班創辦人、數學教育專家
帶你從國中數學開始，
探索基礎數學領域：幾何、代數、函數、機率與統計學。
數學領域的價值與意義是什麼？
數學家如何推演、證明數學定理？
從國中數學，建立數學素養與能力
數學史、定義與公式解說、習題演練……
從現實到抽象，將文字化為數學語言。
數學素養的培養，
目的在於解決問題的能力！
日本著名數學補習班──永野塾，主持人永野裕之，累積十數年教學經驗，有感於學生會解題、考試拿高分，卻沒有數學素養，因而決定拆解國中數學，從數學史的發展切入，提醒大家，學習數學目的在於培養解決問題的能力。在反思、論證、練習與解題的過程中，體會從現實到抽象，運用人類獨具的想像力，將文字化為簡潔的數學語言，最終建立數學素養與能力。
「圖形──幾何學」的學習重點：
Ｉ「論證」方法
II 分類的方法與運用
III採取不同的視角
「數與式──代數學」的學習重點：
I 想像力
II 合理的過程
III 簡化題目
「函數──分析學」的學習重點：
I 變數
II 因果關係
III 1對1對應（圖）
「資料的運用──機率、統計學」的學習重點：
I 比較的合理性
II 資料的整理
III 隨機
目錄
序言
第1章 圖形──幾何學
哲學始於幾何學
巴斯卡的說服術
廣為流傳《幾何原本》的定義與公理
「分類」方法與運用
不同視角──訓練水平思考能力
學會「好的形式」──證明（論證）推演方法（國二）
何謂「正確的推論」？
證明的第一步──三角形的全等性質（國二）
「外項的積＝內項的積」──三角形的相似性質（國三）
相似的問題練習
國中數學的重點──畢氏定理（國三）
蘊含許多定理的「美麗圖形」──圓（國二、國三）
圓的題目練習
練習從「相反的視角」切入──面積和長度（國二）
練習「轉換的視角」──畢氏定理的應用（國二）
第2章 數與式──代數學
西方希臘、東方印度
長年不被接受的「負數」概念
誕生於古代東方文明的「代數學」
兩位代數學之父
求解方程式的要素
算術和數學的差異
挑戰各種公式解
演繹思考的利弊
概念性的數──負數（國一）
「負數×負數＝正數」的理由
看不見卻存在的數──平方根（國二）
適用於《幾何原本》的正確解題法──一次方程式（國一）
代入法才是消去未知數的捷徑──聯立方程式（國一）
挑戰國中數學最難的數學式變形──二次方程式（國二）
簡化題目的練習──方程式的應用（國一到國三）
第3章 函數──分析學
邂逅「變數
笛卡爾的「革命」──解析幾何學的誕生
歐拉開創的「分析學」
日本的「函數」淵源
因果關係
1對1對應的用法──「計算」的語源
邂逅變數──函數
推導函數的基本──變化的比例
追查原因──函數的利用（國一到國三）
觀察變化──函數與圖形（國一至國三）
第4章 資料的運用──機率、統計學
機率論發展初期的爭論①
機率論發展初期的爭論②
機率論發展初期的爭論③
「拉普拉斯」的惡魔
統計學家最有吸引力嗎？
近代統計學之父
南丁格爾與統計學
茶會與推測統計
隨機的困難度與重要性
確認「出現機率相同」──機率（國三）
掌握資料的特徵──資料整理（國三）
由部分推測全體──抽樣調查（國三）
結語
日文參考文獻
數學史相關年表
序言
一開始我必須先說清楚，本書不是從頭學習國中數學。
本書沿循著數學歷史，以國中數學來傳達學習數學的意義與價值。
你還記得升上國中一年級時的春天嗎？背後少了雙背帶書包，內心是不是感到些許不安呢？穿著寬鬆的制服、看見校園內學長姐的姿態，是不是強烈意識到自己登上大人的階梯呢？我到現在依然記得，開始上數學課時內心萌生「我已經不是小孩子」的感覺。
雖然這麼說，但不久之前還是小學生，實際上也還是小孩子。即便從算數轉為數學，對名稱上的變化感到強烈衝擊，也沒有足夠的能力瞭解其中的差異。
我們經常聽到──特別是對數學感到棘手的人──
這樣說：「出社會後，數學就用不到啦，為什麼還要學得那麼辛苦呢？雖然加減乘除還會用到，但學習數學根本就沒有好處。」
對數學老師來說，這是非常悲哀的想法，相信拿起這本書的你肯定沒有這樣的想法，但這也是無可奈何的，對知性、感性都尚未成熟的國中生來說，想要他們瞭解學習數學的意義、價值，的確是相當困難的事情。
然而，轉眼間升上高中，心智皆將成熟的時候，數學卻變得格外困難。不要說瞭解其中的意義、價值，大多數人煞費苦心才勉強考到及格。
正因為這樣，所以我才執筆本書。
數學是人類從史前時代，綿綿傳承下來的睿智結晶。嘗試翻閱數學的歷史，我4 8 1 9 ; &# 2 1 5 0 8 ; &# 2 0 3 0 1 ; &# 2 5 1 0 4 ; &# 2 9 0 8 7 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 2 8 2 3 ; &# 2 0 1 5 4 ; &# 2 0 0 6 3 ; &# 2 6 3 7 1 ; &# 3 9 0 0 6 ; &# 2 0 2 8 4 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 4 8 6 3 ; &# 3 5 3 2 0 ; &# 1 2 2 9 0 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 2 0 1 5 4 ; &# 3 9 0 0 6 ; &# 2 9 5 5 4 ; &# 2 4 4 7 1 ; &# 2 7 7 0 4 ; &# 1 9 9 8 1 ; &# 3 5 1 1 4 ; &# 3 3 3 9 4 ; &# 2 6 2 3 4 ; &# 2 4 9 3 5 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 9 2 5 ; &# 2 0 1 0 7 ; &# 3 0 0 7 0 ; &# 2 0 0 1 3 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 0 1 0 2 ; &# 3 5 7 3 1 ; &# 3 5 7 1 2 ; &# 3 2 7 7 3 ; &# 3 3 0 2 1 ; &# 3 9 6 3 6 ; &# 2 6 3 7 1 ; &# 3 1 6 2 3 ; &# 2 0 0 1 3 ; &# 2 4 8 6 3 ; &# 2 1 2 0 5 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 5 1 0 5 ; &# 2 0 8 4 0 ; &# 2 4 5 1 5 ; &# 2 0 8 4 0 ; &# 2 4 8 4 7 ; &# 3 3 8 7 9 ; &# 3 6 8 4 8 ; &# 2 0 1 0 2 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 2 6 3 6 0 ; &# 1 2 2 9 0 ; b r / > b r / > &# 2 6 4 1 2 ; &# 2 6 3 6 0 ; &# 2 3 5 5 9 ; &# 2 2 2 8 3 ; &# 2 0 0 1 3 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 1 0 4 0 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 2 5 1 0 4 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 2 0 3 0 9 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 4 9 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 1 2 2 8 9 ; &# 2 0 1 9 5 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 5 0 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 1 2 2 8 9 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 2 6 5 1 2 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 5 1 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 1 2 2 8 9 ; &# 2 7 2 3 1 ; &# 2 9 5 7 5 ; &# 3 2 1 1 3 ; &# 3 5 3 3 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 1 5 3 2 ; &# 5 2 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 2 2 2 3 5 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 1 5 0 8 ; &# 3 1 4 5 6 ; &# 2 1 0 6 9 ; &# 2 1 3 2 2 ; &# 3 7 0 9 6 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 3 5 3 5 2 ; &# 3 6 8 4 8 ; &# 3 0 4 5 6 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 1 4 9 0 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 4 4 6 0 ; &# 2 1 3 2 2 ; &# 3 7 0 9 6 ; &# 2 0 9 9 8 ; &# 3 2 1 1 3 ; &# 2 5 9 7 2 ; &# 2