一沙一世界，一花一天堂
飄落的雪花是幾何；太陽月亮是週期；葉子的節點是數列
換個方式學數學，你將發現自然的美麗及宇宙的秩序
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華德福式自然學習法，超過200幅彩色圖表
本書是一位任教於華德福教育體系的教師，針對七、八年級學生所發展的教程，廣獲推介引用。藉由大量圖片與作品，引導學生認識大自然、空間以及時間裡的數學。主題包括：幾何學、畢達哥拉斯及數目、柏拉圖多面體、節奏與循環。
華德福的教育方式強調學習與經驗的連結。對教師和家長而言，點燃孩子的學習熱情更勝於填鴨教學。對學生而言，概念與觀察的結合會帶來驚喜與啟蒙。數學不只是計算與公式，更是探索、興趣與應用，也是一項重要生活技能。
推薦序/洪萬生
幫助學生體會數學（美）無所不在
這一兩年來，「另類的」數學普及書籍成為出版商的注目焦點。以今年出版的作品為例，除了數學小說（mathematical fiction）文類的繼續風行之外，像《這才是數學》這一類的書寫，高舉數學教育的基進（radical）改革旗號，內容基調卻回歸古典（classical），總是帶給我們一種「今昔時空」疊置，不知身心何所依違之感。不過，也正因為這種既在地又抽離的處境，讓我們可以從容地體會數學的如何有趣，甚至如何有用。
本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品，儘管其中包括作者教給七、八年級學生的主要數學課程內容。作者約翰・布雷克伍德任教於澳洲史泰納學校――華德福實驗教育系統的一環，因而本書也被納入華德福教育資源（Waldorf Education Resources）叢書。平心而論，作者的數學觀點不如《這才是數學》的作者來得基進，不過，堅持數學的某些進路與練習，則並無二致。而所有這些，則都指向數學的有趣面向。譬如說吧，本書的英文原版書名《 Mathematics in Nature, Space and Time》，就是企圖說明數學在天生自然領域、在空間脈絡以及在時間的流變中的無所不在。作者更是利用本書例證，強調「數學是描述世界的一種語言――上帝所創造的一種語言」。對他來說，數學是一種真正的門道或法門，「引領我們走向大自然之工作室（workshop of nature）的漸增理解」，因為「吾人可以相信不僅存有諸神，而且也可以對祂們#如何#運作產生興趣」。換言之，數學在大自然界中的無所不在，都是上帝的神工，而理解或鑑賞它們的不凡與美妙，則是榮耀上帝的一條進路。
數學實作（mathematical practice）可以「接近神蹟」的華德福教育哲學主張，正是十八世紀西方自然神學（natural theology）的現代翻版。顯然，這種主張就是將數學實作類比為一種「靈修」的過程。因為誠如史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》所指出，「有了（數學）思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」
既然是靈修，那麼，數學實作回歸古典，依循古代哲人的進路，似乎是勢所必然。這或許也解釋了何以作者那麼鍾愛希臘古典幾何學中的尺規作圖。事實上，本書第一章一開始的練習一和二，就依序是（在給定線段上）作垂線，以及二等分角的尺規作圖。而全書的尺規作圖練習，則多達十幾個。可見，作者在繪製幾何圖形時，就十分貼近地呼應希臘古典幾何的「精確」要求。
希臘數學家，比如最具代表性的歐幾里得，就視「精確圖形」與「尺規作圖」是一體兩面。所謂尺規作圖，是指運用圓規與沒有刻度的直尺，在有限多次的步驟中，畫出一個圖形。這是古希臘歐幾里得在他的經典《幾何原本》中，所允許使用的作圖方法。按照他的主張，只要不是運用這種方法所作出來的圖形，就不能稱之為存在，因而也就不是數學研究的合法對象。這種合法性（legitimacy）由於結合了嚴格的邏輯證明，使得圖形的「精確」顯得理所當然，從而它們的「存在」也就無庸置疑了。
現在，讓我們簡要介紹本書內容。按照知識內容來分類，各章主題依序是幾何、數論（number theory）、柏拉圖立體，以及克卜勒三大行星運動定律。 有關最後一章的科學史敘事，作者認為克卜勒的不朽成就，完全在於他「對大自然的節奏理解」，因而可以「成為真正的自然科學」。此外，作者還針對人體（小宇宙）和大宇宙的節奏之對應關係，指出人類可視為巨觀中的微觀，於是，「男人是由上帝的形象造成的」，乃成為數學靈修的最後徹悟。
至於本書前三章內容都曾經在《幾何原本》出現，再度地見證這部偉大經典在作者心目中的地位。事實上，《幾何原本》討論的部份主題如下：第 I、III 及 IV 冊是平面幾何；第 XI-XII 冊是立體幾何；第 VII-IX 冊是數論，還有，第XIII一冊，亦即最後一冊，則是柏拉圖立體。附帶一提，這最後一冊的內容與前面各章幾何學（9 6 1 ; &# 3 5 5 4 2 ; &# 2 4 1 7 9 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 2 5 1 1 0 ; &# 3 1 4 3 5 ; &# 3 9 6 3 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 2 0 0 4 3 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 3 6 8 9 9 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 0 4 7 5 ; &# 3 6 2 1 5 ; &# 2 0 3 5 8 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 3 4 7 0 1 ; &# 3 6 0 1 1 ; &# 2 4 6 1 5 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 9 9 ; &# 1 1 1 ; &# 1 0 4 ; &# 1 0 1 ; &# 1 1 4 ; &# 1 0 1 ; &# 1 1 0 ; &# 9 9 ; &# 1 0 1 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 2 6 0 4 1 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 1 9 9 7 8 ; &# 3 6 6 1 1 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 1 9 9 8 1 ; &# 3 6 2 7 5 ; &# 6 5 3 0 7 ; &# 2 0 1 3 4 ; &# 2 1 3 6 3 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 6 8 8 9 ; &# 2 0 1 1 6 ; &# 2 0 4 9 1 ; &# 2 6 5 7 5 ; &# 2 5 2 8 9 ; &# 2 2 2 9 4 ; &# 2 7 4 9 1 ; &# 3 1 4 3 5 ; &# 2 6 0 4 1 ; &# 3 9 6 3 6 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 3 3 8 4 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 9 0 2 3 ; &# 2 8 9 8 2 ; &# 2 0 0 0 6 ; &# 3 8 7 5 0 ; &# 2 7 4 7 2 ; &# 2 7 6 6 3 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 2 0 3 0 9 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 3 0 6 9 3 ; &# 3 5 6 7 2 ; &# 3 1 9 9 5 ; &# 3 2 1 1 3 ; &# 1 9 9 8 1 ; &# 2 1 4 8 7 ; &# 2 5 1 1 0 ; &# 3 2 5 7 0 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 1 9 9 6 8 ; &# 2 9 8 7 2 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 0 7 6 0 ; &# 3 1 6 4 9 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 2 0 8 7 4 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 1 5 2 ; &# 2 6 3 7 7 ; &# 2 1 6 2 9 ; &# 3 8 9 8 8 ; &# 2 0 0 4 3 ; &# 3 5 6 5 7 ; &# 2 6 1 2 6 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 0 0 7 0 ; &# 2 8 9 8 2 ; &# 3 6 9 9 6 ; &# 2 6 1 5 9 ; &# 2 3 4 3 6 ; &# 2 0 8 4 0 ; &# 2 0 3 8 1 ; &# 3 6 0 8 4 ; &# 2 1 0 6 9 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 0 4 5 6 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 1 6 2 9 ; &# 3 8 9 8 8 ; &# 1 2 2 9 0 ; &# 2 3 5 6 5 ; &# 2 6 0 4 4 ; &# 3 6 8 8 9 ; &# 2 7 1 7 1 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 3 4 3 3 ; &# 2 5 4 9 0 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 1 4 9 0 ; &# 2 3 4 7 8 ; &# 2 9 4 6 8 ; &# 2 8 2 0 4 ; &# 3 6 8 8 9 ; &# 2 6 1 5 9 ; &# 2 7 4 7 2 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 3 7 3 2 4 ; &# 2 4 4 7 1 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 0 1 0 2 ; &# 2 1 5 2 1 ; &# 2 6 5 7 5 ; &# 2 5 2 8 9 ; &# 2 2 2 9 4 ; &# 1 2 3 0 0 ; &# 2 0 1 3 2 ; &# 2 4 5 1 5 ; &# 1 2 3 0 1 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 2 2 4 0 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 2 6 3 7 7 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 3 0 6 9 3 ; &# 3 5 6 7 2 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 3 6 0 7 4 ; &# 2 6 0 4 1 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 1 2 2 9 8 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 2 0 3 0 9 ; &# 2 1 4 0 7 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 1 2 2 9 9 ; &# 3 4 9 8 7 ; &# 3 5 4 6 9 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 7 6
飄落的雪花是幾何；太陽月亮是週期；葉子的節點是數列
換個方式學數學，你將發現自然的美麗及宇宙的秩序
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華德福式自然學習法，超過200幅彩色圖表
本書是一位任教於華德福教育體系的教師，針對七、八年級學生所發展的教程，廣獲推介引用。藉由大量圖片與作品，引導學生認識大自然、空間以及時間裡的數學。主題包括：幾何學、畢達哥拉斯及數目、柏拉圖多面體、節奏與循環。
華德福的教育方式強調學習與經驗的連結。對教師和家長而言，點燃孩子的學習熱情更勝於填鴨教學。對學生而言，概念與觀察的結合會帶來驚喜與啟蒙。數學不只是計算與公式，更是探索、興趣與應用，也是一項重要生活技能。
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本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品，儘管其中包括作者教給七、八年級學生的主要數學課程內容。作者約翰・布雷克伍德任教於澳洲史泰納學校――華德福實驗教育系統的一環，因而本書也被納入華德福教育資源（Waldorf Education Resources）叢書。平心而論，作者的數學觀點不如《這才是數學》的作者來得基進，不過，堅持數學的某些進路與練習，則並無二致。而所有這些，則都指向數學的有趣面向。譬如說吧，本書的英文原版書名《 Mathematics in Nature, Space and Time》，就是企圖說明數學在天生自然領域、在空間脈絡以及在時間的流變中的無所不在。作者更是利用本書例證，強調「數學是描述世界的一種語言――上帝所創造的一種語言」。對他來說，數學是一種真正的門道或法門，「引領我們走向大自然之工作室（workshop of nature）的漸增理解」，因為「吾人可以相信不僅存有諸神，而且也可以對祂們#如何#運作產生興趣」。換言之，數學在大自然界中的無所不在，都是上帝的神工，而理解或鑑賞它們的不凡與美妙，則是榮耀上帝的一條進路。
數學實作（mathematical practice）可以「接近神蹟」的華德福教育哲學主張，正是十八世紀西方自然神學（natural theology）的現代翻版。顯然，這種主張就是將數學實作類比為一種「靈修」的過程。因為誠如史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》所指出，「有了（數學）思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」
既然是靈修，那麼，數學實作回歸古典，依循古代哲人的進路，似乎是勢所必然。這或許也解釋了何以作者那麼鍾愛希臘古典幾何學中的尺規作圖。事實上，本書第一章一開始的練習一和二，就依序是（在給定線段上）作垂線，以及二等分角的尺規作圖。而全書的尺規作圖練習，則多達十幾個。可見，作者在繪製幾何圖形時，就十分貼近地呼應希臘古典幾何的「精確」要求。
希臘數學家，比如最具代表性的歐幾里得，就視「精確圖形」與「尺規作圖」是一體兩面。所謂尺規作圖，是指運用圓規與沒有刻度的直尺，在有限多次的步驟中，畫出一個圖形。這是古希臘歐幾里得在他的經典《幾何原本》中，所允許使用的作圖方法。按照他的主張，只要不是運用這種方法所作出來的圖形，就不能稱之為存在，因而也就不是數學研究的合法對象。這種合法性（legitimacy）由於結合了嚴格的邏輯證明，使得圖形的「精確」顯得理所當然，從而它們的「存在」也就無庸置疑了。
現在，讓我們簡要介紹本書內容。按照知識內容來分類，各章主題依序是幾何、數論（number theory）、柏拉圖立體，以及克卜勒三大行星運動定律。 有關最後一章的科學史敘事，作者認為克卜勒的不朽成就，完全在於他「對大自然的節奏理解」，因而可以「成為真正的自然科學」。此外，作者還針對人體（小宇宙）和大宇宙的節奏之對應關係，指出人類可視為巨觀中的微觀，於是，「男人是由上帝的形象造成的」，乃成為數學靈修的最後徹悟。
至於本書前三章內容都曾經在《幾何原本》出現，再度地見證這部偉大經典在作者心目中的地位。事實上，《幾何原本》討論的部份主題如下：第 I、III 及 IV 冊是平面幾何；第 XI-XII 冊是立體幾何；第 VII-IX 冊是數論，還有，第XIII一冊，亦即最後一冊，則是柏拉圖立體。附帶一提，這最後一冊的內容與前面各章幾何學（9 6 1 ; &# 3 5 5 4 2 ; &# 2 4 1 7 9 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 2 5 1 1 0 ; &# 3 1 4 3 5 ; &# 3 9 6 3 6 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 2 0 0 4 3 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 3 6 8 9 9 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 0 4 7 5 ; &# 3 6 2 1 5 ; &# 2 0 3 5 8 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 3 4 7 0 1 ; &# 3 6 0 1 1 ; &# 2 4 6 1 5 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 9 9 ; &# 1 1 1 ; &# 1 0 4 ; &# 1 0 1 ; &# 1 1 4 ; &# 1 0 1 ; &# 1 1 0 ; &# 9 9 ; &# 1 0 1 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 2 6 0 4 1 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 1 9 9 7 8 ; &# 3 6 6 1 1 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 1 9 9 8 1 ; &# 3 6 2 7 5 ; &# 6 5 3 0 7 ; &# 2 0 1 3 4 ; &# 2 1 3 6 3 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 6 8 8 9 ; &# 2 0 1 1 6 ; &# 2 0 4 9 1 ; &# 2 6 5 7 5 ; &# 2 5 2 8 9 ; &# 2 2 2 9 4 ; &# 2 7 4 9 1 ; &# 3 1 4 3 5 ; &# 2 6 0 4 1 ; &# 3 9 6 3 6 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 3 3 8 4 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 9 0 2 3 ; &# 2 8 9 8 2 ; &# 2 0 0 0 6 ; &# 3 8 7 5 0 ; &# 2 7 4 7 2 ; &# 2 7 6 6 3 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 2 0 3 0 9 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 3 0 6 9 3 ; &# 3 5 6 7 2 ; &# 3 1 9 9 5 ; &# 3 2 1 1 3 ; &# 1 9 9 8 1 ; &# 2 1 4 8 7 ; &# 2 5 1 1 0 ; &# 3 2 5 7 0 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 1 9 9 6 8 ; &# 2 9 8 7 2 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 0 7 6 0 ; &# 3 1 6 4 9 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 2 0 8 7 4 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 5 1 5 2 ; &# 2 6 3 7 7 ; &# 2 1 6 2 9 ; &# 3 8 9 8 8 ; &# 2 0 0 4 3 ; &# 3 5 6 5 7 ; &# 2 6 1 2 6 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 3 0 0 7 0 ; &# 2 8 9 8 2 ; &# 3 6 9 9 6 ; &# 2 6 1 5 9 ; &# 2 3 4 3 6 ; &# 2 0 8 4 0 ; &# 2 0 3 8 1 ; &# 3 6 0 8 4 ; &# 2 1 0 6 9 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 6 5 2 8 8 ; &# 3 0 4 5 6 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 6 5 2 8 9 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 1 6 2 9 ; &# 3 8 9 8 8 ; &# 1 2 2 9 0 ; &# 2 3 5 6 5 ; &# 2 6 0 4 4 ; &# 3 6 8 8 9 ; &# 2 7 1 7 1 ; &# 3 0 3 4 0 ; &# 2 3 4 3 3 ; &# 2 5 4 9 0 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 5 9 7 6 ; &# 2 3 4 1 6 ; &# 2 1 4 9 0 ; &# 2 3 4 7 8 ; &# 2 9 4 6 8 ; &# 2 8 2 0 4 ; &# 3 6 8 8 9 ; &# 2 6 1 5 9 ; &# 2 7 4 7 2 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 3 7 3 2 4 ; &# 2 4 4 7 1 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 0 1 0 2 ; &# 2 1 5 2 1 ; &# 2 6 5 7 5 ; &# 2 5 2 8 9 ; &# 2 2 2 9 4 ; &# 1 2 3 0 0 ; &# 2 0 1 3 2 ; &# 2 4 5 1 5 ; &# 1 2 3 0 1 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 2 2 2 4 0 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 2 3 1 2 ; &# 2 6 3 7 7 ; &# 3 8 3 6 4 ; &# 3 0 6 9 3 ; &# 3 5 6 7 2 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 3 6 0 7 4 ; &# 2 6 0 4 1 ; &# 3 8 7 5 4 ; &# 6 5 2 9 2 ; &# 1 2 2 9 8 ; &# 2 4 1 9 0 ; &# 2 0 3 0 9 ; &# 2 1 4 0 7 ; &# 2 6 4 1 2 ; &# 1 2 2 9 9 ; &# 3 4 9 8 7 ; &# 3 5 4 6 9 ; &# 2 8 8 5 8 ; &# 2 7 6